Abstract: The present study focuses on the visible, that is, on analyzing errors that students make to identify possible causes. The framework proposed by the APOE (Action, Process, Object, and Schema) theory is applied through the definition of 27 variables based on mathematical elements involved in three tasks that conform a questionnaire on the concept of derivative. The participants are 103 first-year engineering students. The data gathered consist of students’ answers to the questionnaire collected during the first semester of the year 2021. The results show that there are difficulties associated with the construction of the reversal of processes as revealed by the great number of errors associated with the use variables obtained from logical equivalences. It is concluded that encapsulating the derivative as a cognitive object, corresponding to its function, is difficult to achieve.

Resumen: Este estudio se enfoca en lo visible, es decir, en el análisis de errores que los estudiantes cometen a fin de identificar posibles dificultades. Se considera el marco propuesto por la teoría APOE (Acción, Proceso, Objeto, y Esquema), por medio de la definición de 27 variables en función de elementos matemáticos involucrados en tres tareas que conforman un cuestionario sobre el concepto de derivada. Los participantes son 103 estudiantes de primer año de ingeniería. Los datos corresponden a las producciones de los estudiantes, obtenidos de la aplicación del cuestionario y recolectados durante el primer semestre del año 2021. Los resultados muestran que existen dificultades asociadas a la construcción de la reversión de procesos que se manifiesta en el gran número de errores asociados al uso de las variables que se establecen a partir de las equivalencias lógicas. Se concluye que la encapsulación de la derivada como un objeto cognitivo, correspondiente a una función, es compleja de alcanzar.

Resumen Este estudio analiza la importancia del tratamiento de puntos de no-derivabilidad en la tematización del esquema de derivada. Para ello, se consideró el marco propuesto por la teoría APOE, a través del uso y conexiones lógicas que los estudiantes universitarios establecen entre los elementos matemáticos y los modos de representación cuando resuelven tareas sobre derivada. Se utilizaron dos instrumentos: el primero fue un cuestionario conformado por tres tareas propuestas en distintos modos de representación, en cuya resolución era necesaria la utilización de los elementos matemáticos constitutivos del concepto de derivada; este instrumento fue aplicado a los 40 estudiantes participantes del estudio. El segundo instrumento correspondió a una entrevista clínica que se centró en el análisis de las respuestas de los estudiantes en relación con el tratamiento que realizan en los puntos de no-derivabilidad en derivadas sucesivas. Esta entrevista clínica se aplicó a 5 de los 9 estudiantes clasificados en el nivel de desarrollo Trans-derivada. Los resultados del análisis constatan que la coherencia del esquema es fundamental para identificar un esquema tematizado. Además, se observó el importante papel desempeñado por el análisis de los puntos de no-derivabilidad en la conexión y el tránsito entre derivadas de diferentes órdenes, especialmente desde el modo de representación gráfico, lo cual puede ser un factor que favorece la tematización del esquema de derivada.

Abstract This study analyzes the importance of the treating non-derivability points in addressing the derivative schema. To do this, we have considered the framework proposed by APOS theory, through the use and logical connections that university students established between mathematical elements and representation modes when solving tasks on derivative concept. To achieve the aim, we devised two instruments: the first was a questionnaire consisting of three tasks proposed in different representation modes, in whose resolution the use of mathematical constituent elements of the concept of derivative was necessary, this instrument was applied to 40 students that participated in the study. The second instrument corresponded to a clinical interview focused on the analysis of student answers regarding the treatment performed in non-derivability points in successive derivatives. This clinical interview was applied to 5 of the 9 students classified in the level of development Trans-derivative. The results of analysis corroborate that the coherence of the schema is fundamental to identify a addressed schema, in addition, they show the important role played by the analysis of the non-derivability points in the connection and transit between derivatives of different orders, especially from the graphic representation mode, which favors addressing the derivative schema.

Dans cet article nous avons choisi la perspective socioculturelle pour traiter les changements manifestés dans le discours mathématique des étudiants qui essayent de définir un objet mathématique. En particulier on cherche à savoir s'il est possible de caractériser le processus de changement ayant comme appui les outils issus de cette perspective. Dans cette étude ont participé 51 étudiants âgés entre 16 et 21 ans. Grace à cette analyse, on a pu identifier différents types de changements dans le discours mathématique chez les étudiants d'après la caractérisation des relations identifiées entre narratives assumées et routines qui apparaissent dans le discours. Ces changements nous ont permis de mieux connaître le processus d'apprentissage des étudiants.

Neste trabalho, nos situamos em uma perspectiva sociocultural para abordar as mudanças que se manifestam no discurso matemático dos estudantes que tentam definir um objeto matemático. Em particular, questionamos se é possível caracterizar o procedimento de mudança apoiando-nos em ferramentas provenientes de tal perspectiva. Os participantes foram 51 estudantes, de idades compreendidas entre 16 e 21 anos. A análise realizada nos permitiu identificar diferentes mudanças no discurso matemático dos estudantes, a partir da caracterização das relações identificadas entre narrativas assumidas e rotinas que puseram de manifesto no discurso. Essas mudanças, permitiram nos aproximar do processo de aprendizagem dos estudantes.

On this work, we focus on a sociocultural perspective in order to set forth the changes that are manifested in the students' mathematical discourse when they try to define a mathematical object. We mainly establish whether it is possible to characterize the process of changing by using the tools as a result of the perspective described above. There were fifty-one participants, students between the ages of 16 and 21. This analysis allowed us to identify different changes on the students' mathematical discourse by the characterization of the identified relationships between their narrative and their routines manifested in the discourse. These changes have allowed us to get an approximate of the students' learning process.

En este trabajo nos situamos en una perspectiva sociocultural para abordar los cambios que se manifiestan en el discurso matemático de los estudiantes cuando tratan de definir un objeto matemático. En particular, nos planteamos si es posible caracterizar el procedimiento de cambio apoyándonos en herramientas provenientes de dicha perspectiva. Los participantes fueron 51 estudiantes de edades comprendidas entre 16 y 21 años. El análisis realizado nos permitió identificar diferentes cambios en el discurso matemático de los estudiantes, a partir de la caracterización de las relaciones identificadas entre narrativas asumidas y rutinas que se han puesto de manifiesto en el discurso. Estos cambios nos han permitido aproximarnos al proceso de aprendizaje de los estudiantes.

The aim of this study is to identify some indicators of post-secondary students' development of derivative schema. In order to identify these indicators we use intra, inter and trans levels of development of a schema provided by Piaget and García. We argue that students' flexible use of the logical equivalence between mathematical elements when solving a problem is an indicator of the development of the derivative schema. This characterization helps to explain the transition between the levels inter and trans of the development of derivative schema.

El objetivo de esta investigación es caracterizar algunos indicadores del desarrollo del esquema de derivada en estudiantes de pos-secundaria. Usamos los niveles intra, inter y trans del desarrollo de un esquema propuestos por Piaget y García para caracterizar el uso flexible que los estudiantes hacen de la equivalencia lógica entre diferentes elementos matemáticos cuando resuelven un problema, como un indicador del desarrollo del esquema de derivada. Este indicador ayuda a explicar la transición entre los niveles inter y trans de desarrollo del esquema derivada.

Les étudiants du lycée (16 à 18 ans) et ceux qui suivent les enseignements de calcul (analyse) dans l'université ont des difficultés pour comprendre la notion de dérivée. Dans ce contexte, notre travail analyse et organise les apports de recherches faites dans les Mathématiques Éducatives pour identifier la connaissance générée et les domaines dont il est nécessaire de donner plus d'information. L'analyse a été structurée en considérant : a) ce qui est connu sur la compréhension de la dérivée d'une fonction en un point; b) le rôle que jouent les systèmes de représentation; c) les caractéristiques du développement du schéma de dérivée. Finalement, des axes de recherche nécessaires sont identifiés pour augmenter notre compréhension de comment les étudiants donnent de la signification et utilisent le concept de dérivée.

Os estudantes de Ensino Médio (16 a 18 anos) e os que cursam os primeiros anos de cálculo na universidade têm dificuldades para compreender a noção de derivada. Em tal contexto, este trabalho revisa e organiza as contribuições das investigações feitas em Educação Matemática para identificar o conhecimento gerado e as áreas onde são necessárias contribuir com informação. A revisão se estruturou considerando: a) o que se conhece sobre a compreensão da derivada de uma função em um ponto; b) o papel que desempenham os sistemas de representação; c) as características do desenvolvimento do esquema de derivada. Por último, identificam-se linhas de investigação necessárias para aumentar nossa compreensão de como os estudantes dotam de significado e usam o conceito de derivada.

High school students (16 to 18 years of age) and first year students of calculus in university have difficulty understanding the notion of the derivative. In this context, this study reviews and organizes the contributions of studies made in Mathematics Education to identify the knowledge generated and the areas where it is necessary to provide information. The review has been structured to consider: a) what is known about the understanding of the derivative of a function at a point; b) the role of representation systems; c) the characteristics of the development of the derivative schema. Lastly, the necessary lines of investigation were identified to enhance our understanding of how students give meaning and use to the concept of the derivative.

La comprensión de la noción de derivada presenta dificultades para los estudiantes de Bachillerato (16-18 años) y primeros años de Cálculo en la Universidad. En dicho contexto, este trabajo revisa y organiza las aportaciones de las investigaciones hechas en Matemática Educativa para identificar el conocimiento generado y las áreas donde es necesario contribuir con información. La revisión se ha estructurado considerando: a) lo que se conoce sobre la comprensión de la derivada de una función en un punto; b) el papel que desempeñan los sistemas de representación; c) las características del desarrollo del esquema de derivada. Por último, se identifican líneas de investigación necesarias para aumentar nuestra comprensión de cómo los estudiantes dotan de significado y usan el concepto de derivada.